Der Würfel

Kubologie der Rollenspielwelt ¹⁾

von Christoph Fischer

„Der Würfel ist gefallen“

-- Cäsars nach Menander, als er 49 v.Chr. den Rubikon überschritt

Eines der wichtigsten Utensilien beim überwiegenden Teil der Pen- & Paper-Spiele ist der Würfel. Er bestimmt über Erfolg und Misserfolg einer Aktion. So mancher Charakter hat schon aufgrund eines „schlechten“ Wurfergebnisses urplötzlich seinen Ahnen gegenübergestanden. Deshalb hat jeder Rollenspieler seine eigenen Tricks, die Würfel für einen „guten“ Wurf zu eichen. (Ich rede aber nicht vom Manipulieren der Würfel, wie es in der Branche der Falschspieler üblich ist.) So testet der eine bereits beim Kauf, ob sie die gewünschten Zahlen würfeln. Der Nächste schwört darauf, daß sie erst ein gutes Stück rollen müssen, bevor sie liegen bleiben. Wieder ein anderer schickt ein Stoßgebet zu den Asen, bevor die Würfel fallen. Diese Abhandlung möchte sich aber nicht mit der Wissenschaft der „guten“ Würfe befassen. Es soll vielmehr der Urheber all der Freuden (und Zitterpartien) näher beleuchtet werden - der Würfel in all seinen Formen und Farben.

Die (Spiel-) Würfel sind kleine Kuben aus Elfenbein, Knochen, Holz usw. Würfel wurden schon in der Antike benutzt und stammen vermutlich aus Asien. Die ältesten Würfel wurden in sumerischen Königsgräbern von Ur ausgegraben. Sie stammen aus dem 3. Jahrtausend v. Chr. In ägyptischen Grabstätten hat man Würfel mit Punkten gefunden, und in der griechischen und römischen Literatur gibt es zahlreiche Hinweise auf Würfelspiele. [ME98]
Heutzutage wird hauptsächlich Plastik als Material verwendet. Doch heute, wie vor Tausenden von Jahren, sind Handhabung und Funktion des Würfels gleichgeblieben. So werden Würfel aus der Hand geworfen, oder man benutzt einen Würfelbecher. Durch das darauf folgende Überschlagen und Abrollen über seine Kanten und Ecken soll ein zufälliges Ergebnis (meist eine Zahl) innerhalb eines Intervalls (begrenzt durch die Anzahl der Flächen) ermittelt werden. Das es dabei unzählige Arten von Würfeln gibt, wird schon bei den Auflistungen der benötigten Materialien der verschiedenen Rollenspielsystemen deutlich. Es ist dort hauptsächlich die Rede von W4, W6, W8, W10, W12, W20, W30 und W100. Hinter diesen für den Laien mystischen Worten verbirgt sich die maximale Augenzahl des Würfel. So hat beispielsweise ein W6 sechs Flächen und seine Augenzahl (Punkte) reicht von 1 bis 6. Dies ist natürlich für die meisten Rollenspieler nichts neues.

Im folgenden soll die mathematische Beschreibung der „Würfel“ behandelt werden. Mathematisch korrekt ist der Würfel ein Quader mit gleicher Kantenlänge. Er gehört zur Familie der regulären Polyeder. Das Wort Polyeder kommt aus dem Griechischen und bedeutet Vielflächner [DU99]. Damit ist ein Körper gemeint, der von Ebenen begrenzt wird. Dazu gehören auch Prisma, Parallelepiped, Pyramide, Pyramidenstumpf, Tetraeder, Obelisk, um nur einige wenige zu nennen.
Regelmäßige Polygone bilden die Flächen der fünf regulären Polyeder, die auch die fünf kosmischen oder, nach dem griechischen Philosophen Platon, platonischen Körper genannt werden.

Im folgenden ist eine Übersicht der regulären Polyeder zu sehen [BS99].

	Bezeichnung	Anzahl und Form der Begrenzungsflächen	Anzahl der
			Kanten	Ecken
	Tetraeder	4 Dreiecke	6	4
	Hexaeder (Würfel)	6 Quadrate	12	8
	Oktaeder	8 Dreiecke	12	6
	Dodekaeder	12 Fünfecke	30	20
	Ikosaeder	20 Dreiecke	30	12

Abbildung 1: reguläre Polyeder

Eine Frage ist dabei noch nicht geklärt worden. Warum werden hauptsächlich reguläre Polyeder als „Würfel“ verwendet? Reguläre Polyeder zeichnen sich durch reguläre (lat.: der Regel gemäß) Vielecke als Begrenzungsflächen und kongruente (Mathe.: deckungsgleich (von geometrischen Figuren)) reguläre Ecken aus [BS99]. Durch diesen Aufbau ist die Wahrscheinlichkeit jedes Element zu erwürfeln gleich groß. Beim W6 ist also die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln, genauso groß wie eine 1, nämlich 1/6. (Dies wiederspricht den Erfahrungen vieler Rollenspieler, die mehrmals hintereinander eine eins würfeln, obwohl sie eine sechs bräuchten.)

Alle „Würfel“ zeichnen sich auch durch eine gerade Flächenzahl aus. Natürlich könnte man sich z.B. einen W7 vorstellen. Dies wäre ein W6 mit einer abgefeilten Ecke. Das Problem dabei ist, das dann nicht alle Augenzahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Die Symmetrie des Würfels wäre gestört. Die der abgefeilten Seite gegenüberliegende Ecke hätte Übergewicht und würde den Würfel mit den drei anliegenden Seiten „auf den Tisch ziehen“. Dadurch hätten die abgefeilte und die daran angrenzenden Flächen eine höhere Wahrscheinlichkeit als 1/7. (Das Beschweren einer Seite ist auch eine der Grundlagen der Falschspielerei. So wird beispielsweise bei einem W6, wenn die 6 hauptsächlich gewürfelt werden soll, die gegenüberliegende 1 aufgebohrt und mit einem schweren Material, z.B. Blei aufgefühlt. Anschließend wird die Manipulation wieder unkenntlich gemacht.) Desweiteren kann nur bei einer geraden Flächenzahl eine Fläche eindeutig als die Oberste erkannt werden. Außerdem ergeben die Augenzahlen zweier gegenüberliegenden Flächen die maximale Augenzahl plus eins. Dies wäre beim W6 „7“. Es liegen sich also „1“ und „6“, „2“ und „5“ und „3“ und „4“ gegenüber. Diese Eigenschaft trifft nicht auf tetraederförmige Würfel zu. Der Tetraeder ist unter den regulären Polyedern ein besonderer Körper. Er stellt das Minimum an planaren, begrenzenden Flächen dar, mit denen man gerade noch einen 3-diminsonale Körper erstellen kann.

Der klassische Würfel (Hexader) hat noch eine andere kulturelle Eigenschaft. Dazu betrachtet man die Ecke, die von den Flächen mit den Augenzahlen „1“, „2“ und „3“ eingegrenzt wird. Dann stellt man fest, das sie gegen den Urzeigersinn angeordnet sind (siehe Abbildung 2: Würfel)

Abbildung 2: Würfel

Alle Würfel sind so aufgebaut. Alle Würfel? In Japan gibt es ein Spiel in welchem aus historischen Gründen die Augenzahlen im Urzeigersinn aufgebaut sein müssen²⁾.

Unter den regulären Polyeder sind bereits viele der in Rollenspielsysteme vorkommenden Würfelformen vertreten. Nicht dazu gehören die im folgenden gezeigten Dekaeder (W10), 30-flächigen-Würfel (W30) und 100-flächigen-Würfel (W100).

Der W100 ist ein Spezialfall der „Würfel“. Auf der einen Seite ist er natürlich der größte „Würfel“ der in Rollenspielsystemen zum Einsatz kommt. Auf der anderen ist er, im Gegensatz zu allen anderen Würfel, im inneren Hohl. Dazu weiter unten mehr. Eine höhere Augenzahl als W100 ist spieltechnisch nicht mehr sinnvoll, da einerseits die Zahlen immer kleiner (oder der Würfel immer größer) werden. Andererseits kann nicht mehr eindeutig eine Fläche als die Oberste erkannt werden und damit das Ergebnis bestimmt. Am W100 läßt sich auch gut eine Eigenschaft der „Würfel“ erkennen. Je mehr Flächen ein Würfel hat, desto länger rollt er. Der Grund dafür ist offensichtlich – er wird runder. Deshalb werden auch bei weniger Flächen die Ecken abgerundet. Wie bereits erwähnt ist der W100 im inneren Hohl. Da er fast schon Rund ist, muß durch ein sich im inneren befindendes Gewicht der Würfel zum vorzeitigen Stillstand gebracht werden. (Denn nichts ist nervtötender in einem schnellen Gefecht, als wenn man ewig auf das Würfelergebnis warten muß.)

Ausnahmen bestätigen die Regel und so gibt es auch andere Würfelformen neben den oben genannten. Diese sind die „getricksten“ Würfel. So können nach dem Prinzip des Dekaeders Augenzahlen realisiert werden, die der oben genannten These von den geraden Zahlen wiedersprechen. Dies liegt am Aufbau des Dekaeders. Der Dekaeder ist ein von zehn Flächen begrenzter Körper. Er besteht aus zwei, an ihrer Grundfläche zusammengesetzter, Pyramiden. Diese Grundfläche ist beim Dekaeder ein Fünfeck. Erhöht bzw. erniedrigt man die Eckenzahl, werden dadurch auch die Flächenzahl erhöht bzw. erniedrigt. Damit bleibt zwar die Gesamtzahl der Flächen gerade, da diese Veränderung an beiden Pyramiden geschehen muß, aber eine (fast) beliebige Flächenzahl kann realisiert werden. Der Trick ist, das die Flächenzahl pro Pyramide so gewählt wird, das sie genau der erwünschten Zahl entspricht. Bei einem W7 zum Beispiel müßten es deshalb pro Pyramide 7, insgesamt 14 Flächen sein. Dann werden die einzelnen Flächen einer Pyramide mit (Augen-) Zahlen von 1 bis 7 beschriftet. Auf der anderen Pyramide werden die Zahlen von 1 bis 7 so ergänzt, das sie mit der gegenüberliegenden Flächen die Summe 8 ergeben. Nach dieser Vorgehensweise lassen sich alle anderen Würfel konstruieren. Der weiter oben bereits beschriebene W100 läßt sich auch durch 2 Dekaeder ersetzen. Der erste Würfel stellt dann die Zehner-, der andere die Einer-Potenz dar. Dabei sollte aber eine klare Unterscheidungsmöglichkeit gegeben sein. Hilfreich sind zwei verschiedene Farben oder bereits vorgefertigte Einer- bzw. Zehnerpotenzwürfel. Desweiteren gibt es neben den klassischen Würfeln kugelförmige, stäbchenförmige und elektronische Würfel.

Das sich die Mathematiker mit Würfeln befassen mag nicht überraschen. Das aber auch die Natur mit Würfelmodellen spielt ist sicherlich interessant. Feststoffe sind dadurch gekennzeichnet, daß sie als Stoffportionen eine bestimmte Gestalt oder Form besitzen. In vielen Fällen lassen sie auch einen kristallinen Aufbau erkennen, der sich in geometrisch angeordneten Flächen und Kanten äußert. Man kann die kristallinen Stoffe sieben Kristallsystemen zuordnen, von denen jedes bestimmte Symmetrieeigenschaften besitzt. Würfelförmige Kristalle werden deshalb zum kubischen System gerechnet.

Mit Hilfe von Beugungsbilder kann man kleinste Baueinheiten ermitteln, aus denen sich durch Parallelverschiebung nach allen drei Raumrichtungen größere Abschnitte eines Kristalls herstellen lassen. Ein solche Baueinheit nennt man Elementarzelle. Die einzelnen Kristallsysteme besitzen in der Regel mehrere Typen von Elementarzellen mit derselben Symmetrieeigenschaft. So unterscheidet man im kubischen System je nach Anordnung der Teilchen die kubisch primitive, die kubisch flächenzentrierte und die kubisch innenzentrierte Elementarzelle. (siehe Abbildung 3: Verschiedene Typen von Elementarzellen)

Abbildung 3: Verschiedene Typen von Elementarzellen

Doch nicht nur im Mikroskopischen (lat. nur mit Hilfe des Mikroskop erkennbar, winzig klein), sondern auch auf atomarer Ebene gibt es „Würfel“. So ist das Molekül CH₄ tetraedrisch, SF₆ oktaedrisch aufgebaut. (siehe Abbildung 4: Molekühlgeometrien von AB_x-Verbindungen im Elektronenpaarabstoßungsmodell) Der Grund dafür kann mit dem Elekronenpaarabstoßungsmodell erklärt werden. Dieses besagt: Bindungselektronenpaare und freie Elektronenpaare bestimmen in gleicher Weise die Gestalt der Molekühle, in dem sich die Elektronenpaare einer Schale untereinander abstoßen. Hierdurch teilen die Elektronenpaare den zur Verfügung stehenden Raum gleichmäßig ein. [AC79]

Abbildung 4: Molekühlgeometrien von AB_x-Verbindungen im Elektronenpaarabstoßungsmodell

„Würfel“ spielen auch in der Gestaltpsychologie eine wichtige Rolle. Dieser, in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhundert entstandene Zweig der modernen Psychologie, hat besonders optische Illusionen, bei denen man in einer Abbildung zwei verschiedene, aber gleich gültige Motive erkennen kann, studiert und analysiert. Solche Bilder nennt man reversible Figuren, weil ihre Interpretation im Gehirn plötzlich umkippen kann, ohne daß das Auge andere optische Informationen erhalten hätte. Eine bekannte Figur dieser Art ist der transparente oder Necker-Würfel (siehe Abbildung 5: Necker-Würfel).

Abbildung 5: Necker-Würfel

Der Schweizer Geologe Luis Albert Necker entdeckte 1832 als erster die sogenannte perspektivische Inversion. Er bemerkte, daß Zeichnungen rhombenförmiger Kristalle zwei verschiedene Abbildungen enthielten, bei denen die Ordnung der Flächen in Vorder- und Hintergrund vertauscht war. Betrachten Sie aufmerksam die Ecke A des Würfels. Sie werden bemerken, wie die angrenzenden Flächen mal in die Vorder-, mal die Rückseite des Würfels zu bilden scheinen.

Ein weiterer bekannter Vertreter ist der Rubikwürfel (siehe Abbildung 6: Rubik-Würfel). Der Erfinder dieses magischen Objekts ist der ungarische Architekt Ernö Rubik.

Abbildung 6: Rubik-Würfel

Dieser Kopfzerbrecher tauchte in Deutschland 1978 herum auf und eroberte rasch die Leidenschaft von Mathematikern und Denksportamateuren der ganzen Welt. Das Spiel wurde so populär, daß die weltweite Verkaufszahlen im zehnfachen Millionenbereich liegen. Zahllose Bücher und Zeitungsartikel beschrieben seine Eigenschaften. 1982 wurden in Budapest die ersten Weltmeisterschaften im Würfeldrehen abgehalten. Manche glaubten sogar, in der Kubologie eine – wenn auch noch in den Kinderschuhen steckende – neue Wissenschaft mit großer Zukunft zu erkennen. Der Rubikwürfel besteht aus 26 kleineren bunten Würfel, die zusammen einen Kubus der Dimension 3³ = 3*3*3 bilden. Es ist das Ziel des Spieles, nach gründlichem Mischen wieder die Ausgangslage herzustellen, wo jede Seite ihre eigene Farbe hat. Das ist in Anbetracht der 43*10¹⁸ möglichen Kombinationen gar nicht so leicht. [MD01]

Ein klassisches Problem der Graphentheorie ist eine geschlossene Bahn zu finden, die jeden Knoten eines Graphen einmal und nur einmal durchläuft. Solch eine Bahn nennt man Hamilton-Schleife. Der irische Physiker und Mathematiker William Rowan Hamilton bewies als erster die Existenz solcher Schleifen. Zum Beispiel erlaubt der aus den Knoten und Kanten des regelmäßigen Dodekaeders gebildete Graph eine solche Schleife (siehe Abbildung 7: Hamilton-Schleife).

Abbildung 7: Hamilton-Schleife

Beim Schreiben dieser Abhandlung hatte ich zuerst nur das wage Ziel vor Augen den Würfel dem Rollenspieler näher zu bringen. Er sollte mehr über sein Handwerkszeug erfahren. Erst beim Zusammentragen der Informationen und dem anschließenden Schreiben wurde mir klar wie vielschichtig und interessant der „Würfel“ doch ist. Ich hoffe einmal das der geneigte Leser bis zu diesen Zeilen vordringt und das ich andererseits dem Leser durch diesen Text die Augen für die unscheinbaren Würfel öffnen konnte. Würfel spielen in allen Bereichen des Lebens eine wichtige Rolle. Viele sind offensichtlich, manche hier genannt und es gibt bestimmt noch mehr. Doch die gesamte Theorie der Polyeder kann keine „guten“ Würfelergebnisse herbeiführen. Letztendlich hilft also doch nur ein Geheimmittel. Deshalb mein Tipp: Bei „lebenswichtigen“ Würfen sollte man auf seinen Charakterbogen würfeln. Das bringt Glück!

Literaturverzeichnis

Anmerkungen